Care e cel mai mare număr?
Spune-mi cel mai mare număr pe care îl știi. Eu îi adaug 1 și am câștigat. Poți încerca toată ziua: câștig de fiecare dată. Hai să vedem de ce.
Numărătoarea care nu se oprește
Oricât de mare ar fi un număr, există unul mai mare: îi adaugi 1. Așa că nu există un „cel mai mare număr”. Numerele 1, 2, 3, 4... continuă la nesfârșit.
Ideea că ceva nu se termină niciodată se numește infinit. Infinitul nu e un număr foarte, foarte mare. E felul în care spunem că șirul nu are capăt.
Matematicienii au un semn pentru infinit: ∞, un opt culcat. L-a folosit primul englezul John Wallis, în 1655. Dar semnul nu se adună ca un număr obișnuit. Dacă scrii ∞ + 1, nu obții ceva mai mare: tot infinit rămâne. Asta pare o ciudățenie, dar îți arăt imediat de ce e chiar așa.
Hotelul plin care are mereu loc
Matematicianul german David Hilbert a imaginat un hotel cu o infinitate de camere: 1, 2, 3 și tot așa. Într-o seară, toate sunt ocupate. Vine un oaspete nou.
Recepționerul îi roagă pe toți să se mute în camera următoare: cel din 1 trece în 2, cel din 2 în 3. Nimeni nu rămâne pe hol, pentru că după orice cameră mai e una. Camera 1 s-a eliberat.
Și dacă vine un autobuz cu o infinitate de oaspeți? Fiecare om din hotel se mută în camera cu numărul dublu: din 1 în 2, din 3 în 6, din 10 în 20. Acum sunt ocupate doar camerele pare, iar toate camerele impare, tot o infinitate, sunt libere pentru autobuz.
Cu un hotel obișnuit așa ceva e imposibil. La infinit, „plin” nu mai înseamnă „fără loc”.
Infinituri mai mari decât altele
Sunt mai multe numere naturale (1, 2, 3...) sau mai multe numere pare (2, 4, 6...)? Pare că naturale. Dar le poți pune în perechi: 1 cu 2, 2 cu 4, 3 cu 6. Nimeni nu rămâne fără pereche, deci sunt la fel de multe.
Germanul Georg Cantor a arătat însă că numerele cu virgulă, ca 0,5 sau 3,14159..., sunt mai multe decât cele naturale. Oricum le-ai pune pe o listă, rămâne mereu unul pe dinafară.
Deci există infinit și „mai mult decât infinit”. Cantor a avut nevoie de curaj: mulți matematicieni din vremea lui nu i-au acceptat ideile.
Trucul lui Cantor din 1891 se numește argumentul diagonal. Presupui că ai o listă cu toate numerele dintre 0 și 1. Construiești un număr nou: la prima cifră după virgulă pui altceva decât are primul număr, la a doua altceva decât are al doilea, și tot așa.
Numărul tău diferă de fiecare număr din listă măcar printr-o cifră, deci lipsește din ea. Orice listă are găuri, așa că numerele cu virgulă nu pot fi numărate unul câte unul.
Paradoxul lui Zenon
Acum vreo 2.500 de ani, grecul Zenon spunea: ca să ajungi la o minge, parcurgi întâi jumătate din drum, apoi jumătate din ce a rămas, apoi jumătate din rest. Sunt o infinitate de bucăți, deci n-ai ajunge niciodată.
Și totuși ajungi. Secretul: bucățile sunt tot mai mici. O jumătate plus un sfert plus o optime și așa mai departe fac, la un loc, exact un întreg.
Fapt sau legendă?
„Infinit plus 1 e mai mare decât infinit.”
„Sunt la fel de multe numere pare cât numere naturale.”
„Zenon a demonstrat că mișcarea e imposibilă.”
Experiment: foaia lui Zenon
Nu se știe încă
Partea din Univers pe care o putem vedea are o margine, pentru că lumina are nevoie de timp să ajungă la noi. Dincolo de ea, nimeni nu știe. Măsurătorile arată un Univers aproape plat, ceea ce se potrivește cu unul infinit, dar și cu unul imens și finit. Deocamdată, întrebarea rămâne deschisă.
Testul lui Kokodel
- Gamow G. One Two Three... Infinity. Viking Press, 1947.
- Cantor G. „Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1891.
- Huggett N. „Zeno's Paradoxes”. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Encyclopædia Britannica. „Infinity”.