Cum faci un colț perfect drept fără echer?
Trei bețe, de 3, 4 și 5 palme, pot face un colț perfect drept. Fără echer, fără raportor. Secretul are peste 2.500 de ani și îl folosești și tu când tai pe diagonală prin parc.
Regula pătratelor
Ia un triunghi dreptunghic: unul cu un colț drept, de 90 de grade, ca un colț de caiet. Cele două laturi care fac colțul drept se numesc catete. Le spunem a și b. Latura lungă, din fața colțului drept, e ipotenuza, c.
Desenează un pătrat pe fiecare latură. Aria pătratului mare e exact cât ariile celor două pătrate mici la un loc: a² + b² = c².
Cel mai simplu exemplu: laturile 3, 4 și 5. 3² = 9, 4² = 16, iar 9 + 16 = 25, adică 5². Merge și invers: dacă laturile unui triunghi respectă regula, triunghiul sigur are un colț drept.
De aici trucul: un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 are mereu un unghi drept, între laturile 3 și 4.
Numerele întregi care respectă regula se numesc triplete pitagoreice: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 și o infinitate de altele. Dacă înmulțești un triplet cu același număr, obții altul: 6, 8, 10 sau 30, 40, 50. Partea „invers” a teoremei, cea care spune că regula garantează unghiul drept, se numește reciproca teoremei lui Pitagora.
De ce e adevărat?
În matematică nu ajunge să verifici câteva exemple. Trebuie să arăți că regula merge pentru orice triunghi dreptunghic. Asta se numește demonstrație.
Una dintre cele mai frumoase nu are niciun calcul. Ia un pătrat mare, cu latura a + b, și patru triunghiuri la fel, cu catetele a și b. Le poți așeza în pătrat în două feluri.
Prima așezare: câte un triunghi în fiecare colț. În mijloc rămâne liber un pătrat înclinat, cu latura c. Locul liber e c².
A doua așezare: triunghiurile lipite două câte două, în două dreptunghiuri. Acum rămân libere două pătrate, unul de a² și unul de b².
Pătratul mare și triunghiurile sunt aceleași, deci și locul liber e la fel de mare. Așadar, a² + b² = c².
O demonstrație nu expiră. Ce a dovedit cineva acum 2.500 de ani e la fel de adevărat azi și va fi și peste încă 2.500.
Teorema are sute de demonstrații diferite. O carte din 1940 a unui profesor american, Elisha Loomis, a adunat peste 350. Cea mai cunoscută în școli e a lui Euclid, din „Elementele”, cartea I, propoziția 47, scrisă acum aproximativ 2.300 de ani. Matematicienii pun la final de demonstrație semnul ∎, care înseamnă „ce era de demonstrat”.
Pitagora în viața de zi cu zi
Un teren de fotbal are cam 105 pe 68 de metri. Diagonala lui: rădăcina pătrată din 105² + 68², adică aproximativ 125 de metri. Cu 20 de metri mai mult decât lungimea.
Un televizor „de 55 de inch” are 55 de inch, adică aproximativ 140 de centimetri, pe diagonală. Lățimea lui e de aproximativ 122 de centimetri, iar înălțimea de aproximativ 68.
Orice program care calculează distanța în linie dreaptă între două puncte pe o hartă sau într-un joc video folosește regula lui Pitagora, de multe ori pe secundă.
Iar meșterii care fac un colț de casă sau o terasă folosesc și azi trucul 3-4-5: măsoară 3 pe o latură, 4 pe cealaltă și se uită dacă între capete ies fix 5.
Fapt sau legendă?
„Constructorii piramidelor din Egipt foloseau o frânghie cu 12 noduri ca să facă unghiuri drepte.”
„Regula a² + b² = c² merge pentru orice triunghi.”
„Regula era cunoscută în Babilon cu peste o mie de ani înainte de Pitagora.”
Experiment: verifică-l pe Pitagora
Nu se știe încă
Imaginează-ți o cutie la care toate muchiile, diagonalele fețelor și diagonala care trece prin interior, dintr-un colț în cel opus, au lungimi numere întregi. Matematicienii o numesc „cutia perfectă”. Au căutat-o cu calculatoarele printre miliarde de variante și n-au găsit-o. Dar nici n-au demonstrat că nu există.
Testul lui Kokodel
- Euclid. Elementele, cartea I, propoziția 47.
- Loomis E. S. The Pythagorean Proposition, ediția a doua, 1940. Retipărită de National Council of Teachers of Mathematics.
- Robson E. „Words and Pictures: New Light on Plimpton 322”. The American Mathematical Monthly, 2002.
- Encyclopædia Britannica. „Pythagorean theorem”.