Cum poate o panglică să aibă o singură față?
Orice foaie are două fețe. Așa credeam și eu. Ia o fâșie de hârtie, o foarfecă pentru copii și puțină bandă adezivă, și în două minute ai în mână o panglică cu o singură față.
Banda cu o singură față
Taie o fâșie lungă de hârtie, cam cât o riglă. Răsucește un capăt o jumătate de tură și lipește capetele cu bandă adezivă. Ai făcut o bandă Möbius.
Acum trage cu creionul o linie pe mijlocul benzii, fără să ridici creionul. Linia se întoarce de unde a pornit, dar după ce a trecut pe „ambele” fețe. De fapt, banda are o singură față.
Are și o singură margine. Pune degetul pe margine și mergi de-a lungul ei: atingi toată marginea benzii, de sus și de jos, fără să sari.
Banda poartă numele matematicianului german August Möbius, care a descris-o în 1858. Tot atunci, un alt german, Johann Listing, a descoperit-o independent.
Matematicienii spun că banda Möbius e o suprafață neorientabilă. Imaginează-ți o furnică desenată pe ea, cu mâna dreaptă ridicată. După ce face un tur întreg al benzii, se întoarce în același loc ca imaginea ei din oglindă: acum ridică mâna stângă. Pe o suprafață obișnuită, ca o foaie sau o minge, așa ceva nu se poate.
Geometria de plastilină
Ramura matematicii care studiază asemenea forme se numește topologie. Aici obiectele sunt ca din plastilină moale: le poți întinde, turti și îndoi, dar nu ai voie să le rupi sau să lipești bucăți.
Două forme sunt „la fel” dacă poți transforma una în cealaltă așa. Lungimile și unghiurile nu mai contează. Contează câte găuri are forma.
O gogoașă are o gaură. O cană are și ea una: cea de la toartă. Din plastilină, poți transforma gogoașa în cană fără să rupi nimic. Pentru un topolog, sunt aceeași formă.
O minge și o gogoașă nu sunt la fel: ca să faci gaura, ar trebui să rupi. O minge, o farfurie și un cub, în schimb, sunt toate „la fel”: niciuna nu are gaură.
Gluma preferată a matematicienilor: un topolog e cineva care nu deosebește gogoașa de cană, așa că își înmoaie cana în ceai.
Cele șapte poduri
Orașul Königsberg, azi Kaliningrad, avea un râu, două insule și 7 poduri. Oamenii se întrebau: poți face o plimbare care trece peste fiecare pod exact o dată?
În 1736, matematicianul elvețian Leonhard Euler a arătat că e imposibil. Și n-a avut nevoie de nicio hartă exactă, doar de un desen cu puncte și linii.
Ideea lui Euler: pentru fiecare bucată de pământ, numără câte poduri pleacă din ea. Când treci printr-o bucată, intri pe un pod și ieși pe altul, deci folosești două. Un loc cu număr impar de poduri poate fi doar începutul sau sfârșitul plimbării.
În Königsberg, toate cele 4 bucăți de pământ aveau un număr impar de poduri: 5, 3, 3 și 3. Prea multe pentru un singur început și un singur sfârșit.
Desenul lui Euler, cu puncte legate prin linii, se numește azi graf. Din problema podurilor s-a născut o ramură întreagă a matematicii, teoria grafurilor. O folosesc aplicațiile de hărți ca să găsească drumul cel mai scurt și rețelele de internet ca să trimită datele.
Fapt sau legendă?
„Dacă tai banda Möbius pe linia din mijloc, obții două benzi.”
„Pentru un topolog, o gogoașă și o cană cu toartă sunt aceeași formă.”
„Euler a găsit drumul care trece o singură dată peste fiecare pod din Königsberg.”
Experiment: foarfeca surprizelor
Nu se știe încă
Pe o minge mare, o furnică ar crede că trăiește pe o suprafață plată. La fel, noi vedem doar o bucată din Univers. Ar putea fi infinit, sau s-ar putea închide în el însuși, ca o gogoașă uriașă în care, mergând drept, ajungi înapoi de unde ai plecat. Măsurătorile de până acum nu au putut încă decide.
Testul lui Kokodel
- Euler L. „Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 1741.
- Pickover C. A. The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press, 2006.
- Encyclopædia Britannica. „Topology”.