Câte boabe de grâu încap pe o tablă de șah?
Un bob de grâu, apoi două, apoi patru, apoi opt. Pare o cerere modestă. Hai să facem socoteala până la capăt și să vedem cât de modestă e.
Legenda împăratului păcălit
O legendă veche spune că un înțelept din India a inventat șahul și l-a dăruit împăratului. Încântat, împăratul i-a spus să ceară orice.
Înțeleptul a cerut doar grâu: un bob pe primul pătrățel al tablei, două pe al doilea, patru pe al treilea, dublând de fiecare dată, până la al 64-lea. Împăratul a râs de cererea atât de mică. Apoi și-a chemat socotitorii.
Pe pătrățelul 10 sunt 512 boabe, o mână. Pe pătrățelul 20, peste o jumătate de milion, cât un sac. Pe ultimul pătrățel singur, peste 9 miliarde de miliarde.
Pe toată tabla: 18.446.744.073.709.551.615 boabe. Ar cântări aproximativ 700-1.200 de miliarde de tone. E de peste 900 de ori cât grâu produce toată lumea azi într-un an.
De unde intervalul? Un bob de grâu cântărește, după soi, cam între 0,04 și 0,065 grame. Înmulțit cu numărul boabelor dă între aproximativ 740 și 1.200 de miliarde de tone. Lumea produce acum în jur de 800 de milioane de tone de grâu pe an, deci tabla ar cere recolta întregii planete pe aproape o mie de ani.
Puterile lui 2
Când înmulțești un număr cu el însuși de mai multe ori, scrii o putere. 2 × 2 × 2 se scrie 2³, „doi la puterea a treia”, și face 8. Cifra mică de sus îți spune de câte ori înmulțești.
2¹⁰ = 1.024, puțin peste o mie. 2²⁰ = 1.048.576, peste un milion. 2³⁰ trece de un miliard. La fiecare 10 dublări, numărul crește de aproximativ o mie de ori.
Un truc frumos: fiecare pătrățel are cu un bob mai mult decât toate cele dinainte la un loc. Pe al cincilea sunt 16, iar pe primele patru 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
Trucul spune că 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ - 1. Pe tablă, ultimul pătrățel are 2⁶³ boabe, deci totalul e 2⁶⁴ - 1. Puterile lui 2 apar și în calculatoare, care lucrează în sistemul binar, cu cifrele 0 și 1. De aceea în informatică s-a folosit mult 1.024 în loc de 1.000, ca un „kilo” al calculatoarelor.
O foaie până la Lună
O foaie de hârtie are cam 0,1 milimetri grosime. Fiecare împăturire îi dublează grosimea. După 10 împăturiri ar avea aproximativ 10 centimetri. După 20, peste 100 de metri. După 30, peste 100 de kilometri.
Luna e la aproximativ 384.000 de kilometri. Ajung 42 de împăturiri: foaia ar avea atunci aproape 440.000 de kilometri.
În realitate, o foaie obișnuită nu se lasă împăturită de mai mult de vreo 7-8 ori: se face prea groasă și prea mică. Cu o hârtie lungă de peste un kilometru s-a ajuns la 12 împăturiri.
Așa arată creșterea exponențială: la început pare lentă, aproape plictisitoare, apoi o ia razna. Așa se înmulțesc bacteriile și așa se răspândește o știre de la om la om.
Fapt sau legendă?
„Înțeleptul și împăratul au existat cu adevărat, iar povestea s-a întâmplat.”
„Nicio foaie de hârtie nu poate fi împăturită de mai mult de 7 ori.”
„Pe ultimul pătrățel al tablei sunt mai multe boabe decât pe toate celelalte 63 la un loc.”
Experiment: tabla cu orez
Nu se știe încă
Totalul de pe tablă, 2⁶⁴ - 1, se împarte la 3, deci nu e număr prim. Dar unele numere de forma asta sunt prime, ca 3, 7 sau 31. Se numesc prime Mersenne. Calculatoare din toată lumea le caută de zeci de ani și s-au găsit doar puțin peste 50. Sunt o infinitate? Nimeni nu știe.
Testul lui Kokodel
- Gallivan B. How to Fold Paper in Half Twelve Times: An „Impossible Challenge” Solved and Explained. Historical Society of Pomona Valley, 2002.
- FAO. FAOSTAT: producția mondială de grâu.
- Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). Lista numerelor prime Mersenne cunoscute.
- Encyclopædia Britannica. „Exponential growth”.