De ce are mingea de fotbal pentagoane?
Fotbaliștii nu se gândesc la unghiuri și triunghiuri când joacă. Dar picioarele lor le folosesc tot timpul. Hai să găsim geometria de pe teren, începând cu mingea.
Mingea: 12 pentagoane și 20 de hexagoane
Mingea clasică, cea alb-negru pe care o desenează toată lumea, e cusută din 32 de bucăți: 12 pentagoane, cu câte 5 laturi, și 20 de hexagoane, cu câte 6 laturi.
De ce nu doar hexagoane? Hexagoanele se potrivesc perfect pe o suprafață plată, ca fagurii de miere. Tocmai de aceea nu se pot curba ca să închidă o sferă. Pentagoanele „îndoaie” suprafața.
Iar numărul lor nu e întâmplător. Dacă faci o minge doar din pentagoane și hexagoane și în fiecare colț se întâlnesc trei bucăți, îți trebuie exact 12 pentagoane. Hexagoane poți pune mai multe sau mai puține, dar pentagoane, mereu 12.
Explicația vine de la Leonhard Euler. Pentru orice corp fără găuri, cu fețe plate, Vârfuri - Muchii + Fețe = 2. Verifică pe un cub: 8 - 12 + 6 = 2. Pe mingea clasică: 60 de vârfuri, 90 de muchii, 32 de fețe, adică 60 - 90 + 32 = 2.
Din formula asta, plus regula cu trei bucăți în fiecare colț, iese prin calcul că numărul pentagoanelor trebuie să fie 12. Forma mingii se numește icosaedru trunchiat.
De unde e cel mai bine să șutezi?
Nu contează doar cât de aproape ești de poartă. Contează cât de mare e unghiul din care „vezi” poarta, adică unghiul dintre cele două bare.
Din fața porții, unghiul e mare și ai mult loc în care să țintești. Din lateral, chiar dacă ești aproape, poarta se vede ca o fantă îngustă. De aceea șuturile din unghi închis intră rar, iar fundașii încearcă să-l împingă pe atacant spre margine.
Poarta are 7,32 metri lățime. De la punctul de penalty, aflat la 11 metri în fața ei, unghiul dintre bare e de aproximativ 37 de grade. Dintr-un punct aflat la 3 metri de linia porții și 15 metri în lateral față de mijlocul ei, unghiul scade la aproximativ 6 grade, deși ești doar cu câțiva metri mai departe: de vreo șase ori mai puțin loc de țintit.
Triunghiurile câștigă meciuri
Antrenorii le cer des jucătorilor: „Faceți triunghiuri!” Dacă trei coechipieri stau în vârfurile unui triunghi, cel cu mingea are mereu două variante de pasă, pe direcții diferite. Un singur adversar nu le poate închide pe amândouă deodată.
Și mai e ceva: o minge care lovește un perete ricoșează cam la același unghi cu care a venit, ca lumina într-o oglindă. La fotbalul în sală, jucătorii folosesc uneori marginea ca pe un coechipier.
Cercul de la mijlocul terenului are raza de 9,15 metri. Cifra pare ciudată până afli că vine din 10 iarzi, o unitate de măsură englezească. Fotbalul s-a născut în Anglia și cifrele au rămas.
Fapt sau legendă?
„Poți coase o minge rotundă doar din hexagoane.”
„Mingile de la Cupa Mondială de azi sunt făcute tot din 32 de bucăți.”
„Uneori e mai bine să pasezi decât să șutezi din apropierea porții.”
Experiment: măsoară unghiul de șut
Nu se știe încă
Mingea clasică se poate tăia de-a lungul unor cusături și întinde pe masă într-o singură bucată, fără suprapuneri. Matematicienii se întreabă dacă asta merge pentru orice corp convex cu fețe plate, oricât de complicat. Problema se pune de zeci de ani și nimeni n-a demonstrat încă nici că se poate, nici că nu.
Testul lui Kokodel
- The International Football Association Board (IFAB). Laws of the Game.
- Richeson D. S. Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press, 2008.
- Demaine E. D., O'Rourke J. Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra. Cambridge University Press, 2007.