Există un joc pe care îl câștigi mereu?
Am pierdut odată de zece ori la rând la un joc cu bețe. Adversarul meu nu era mai deștept. Știa doar o regulă de matematică. Acum ți-o spun și ție.
Jocul cu 21 de bețe
Pe masă sunt 21 de bețe. Doi jucători iau pe rând 1, 2 sau 3 bețe. Cine ia ultimul băț câștigă.
Secretul: încearcă mereu să lași pe masă un număr de bețe care se împarte la 4: 20, 16, 12, 8, 4. Dacă rămân 4, oricât ar lua adversarul, tu iei restul și câștigi.
Cu 21 de bețe, cine începe poate câștiga sigur: ia 1 și lasă 20. Apoi, dacă adversarul ia 1, tu iei 3. Dacă ia 2, iei 2. Dacă ia 3, iei 1. Mereu, voi doi luați împreună 4 bețe pe tură.
Dacă tu nu începi, așteaptă greșeala adversarului: prima dată când nu lasă un multiplu de 4, preiei tu strategia.
Jocul e o variantă simplă de Nim. Matematicienii numesc pozițiile cu multiplu de 4 bețe „poziții pierzătoare”: oricine e la mutare acolo pierde, dacă celălalt joacă bine. Pentru jocuri de felul ăsta, în care ambii văd tot și nu există noroc, se poate afla dinainte cine câștigă, pornind de la final spre început.
X și 0, jocul pe care nu-l câștigă nimeni
La X și 0, dacă ambii jucători joacă perfect, jocul se termină mereu la egalitate. Matematicienii au verificat toate partidele posibile: sunt 255.168.
Câteva reguli care te ajută. Dacă poți câștiga la mutarea asta, câștigă. Dacă adversarul poate câștiga la mutarea următoare, blochează-l. Și caută furculița: o mutare care îți dă două amenințări deodată. Adversarul nu le poate bloca pe amândouă.
Dacă începi, colțul e o alegere bună: adversarul are un singur răspuns care nu pierde, căsuța din mijloc. Orice altă mutare a lui îți permite o furculiță. Unul dintre primele jocuri pe calculator, făcut în 1952 la Universitatea Cambridge, era chiar X și 0, iar calculatorul juca perfect.
Șahul e altă poveste. Numărul de partide posibile e mult mai mare decât numărul de atomi din Universul vizibil. Calculatoarele joacă azi mai bine decât orice om, dar nici ele nu știu rezultatul unei partide perfecte.
Teoria jocurilor și încrederea
Matematica jocurilor studiază orice situație în care mai mulți oameni iau decizii. Un exemplu celebru e dilema prizonierului. Iată o variantă: tu și un coleg faceți un proiect. Fiecare poate munci sau chiuli, fără să știe ce face celălalt.
Dacă munciți amândoi, luați 9. Dacă tu chiulești și el muncește, tu iei 10, el 5. Dacă chiuliți amândoi, luați 4.
Fiecare e tentat să chiulească, ca să ia 10. Dar dacă amândoi gândesc așa, amândoi iau 4. Cea mai bună variantă pentru amândoi e să coopereze, adică să muncească.
Când jocul se repetă de multe ori, o strategie simplă merge foarte bine: începi prin a coopera, apoi faci ce a făcut celălalt data trecută. Se numește „ochi pentru ochi”.
„Ochi pentru ochi” a câștigat două turnee celebre de programe de calculator, organizate în 1980 de politologul american Robert Axelrod. Iar matematicianul John Nash a primit în 1994 Premiul Nobel pentru economie, împreună cu alți doi cercetători, pentru teoria jocurilor. Ideile lor se folosesc azi în economie, biologie și politică.
Fapt sau legendă?
„La X și 0, cine începe câștigă mereu dacă joacă bine.”
„Calculatoarele au rezolvat complet șahul și știu dinainte rezultatul.”
„La jocul cu 21 de bețe, cine începe poate câștiga sigur.”
Experiment: jocul cu bețe
Nu se știe încă
Matematica spune că, la șah, una dintre trei variante e adevărată: albul câștigă mereu, negrul câștigă mereu sau iese mereu remiză, dacă ambii joacă perfect. Mulți jucători și programe bănuiesc remiza. Dar partidele posibile sunt atât de multe încât niciun calculator nu le poate verifica, așa că nimeni nu știe sigur.
Testul lui Kokodel
- Berlekamp E. R., Conway J. H., Guy R. K. Winning Ways for Your Mathematical Plays. Academic Press, 1982.
- Axelrod R. The Evolution of Cooperation. Basic Books, 1984.
- Shannon C. E. „Programming a Computer for Playing Chess”. Philosophical Magazine, 1950.
- NobelPrize.org. The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1994.